Fórmula de Abreu

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La fórmula de Abreu es un nuevo método para la obtención de las raíces de una ecuación cuadrática. Fue ideada por el matemático español Samuel Abreu Prado (Vigo, 1988).

Una ecuación cuadrática, o ecuación de segundo grado,​​ es del tipo:

<math>ax^2+bx+c=0; x\neq0</math>

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Fórmula:

La fórmula viene dada por:

<math>x={2c \over -b \mp\sqrt{b^2-4ac}}</math>

La expresión es similar, pero distinta e independiente, a la ya conocida fórmula de Bhaskara II:

<math>x={-b \pm\sqrt{b^2-4ac}\over 2a}</math>

La sutil diferencia nos hace ver rápidamente la conocida igualdad:

<math>x_1x_2={c\over\ a}</math>

Demostremos esto último:

Se ve que la fórmula de Abreu y la de Bhaskara II tienen los signos de la raíz cuadrada invertidos en orden y, de ahí, <math>x_1</math>en la primera tiene el mismo signo que <math>x_2</math>en la segunda y viceversa.

Cogiendo <math>x_1</math>de Bhaskara II y <math>x_2</math>de Abreu:

<math>x_1={-b +\sqrt{b^2-4ac}\over 2a}</math>y <math>x_2={2c\over -b +\sqrt{b^2-4ac}}</math> .

Así:

<math>x_1x_2={-b +\sqrt{b^2-4ac}\over 2a}.{2c\over -b +\sqrt{b^2-4ac}}\Rightarrow {2c\over 2a}={c\over a}</math>

Partiendo de esta igualdad del producto de las soluciones es muy sencillo deducir la Fórmula de Abreu; pero veremos, mejor, la bella demostración de la obtención independiente de la fórmula de Abreu descrita por el propio Samuel Abreu.

Demostración:

<math>ax^2+bx+c=0\Rightarrow x(ax+b)+c=0\Rightarrow x(ax+b)=-c\Rightarrow x(ax+b)=(-{c\over n})n</math>

y podemos hacer:

<math>\begin{cases} x={-c\over n} \\ ax+b=n\Rightarrow x={(n-b)\over a}\end{cases}</math>

e igualando:

<math>-{c\over n}={n-b\over a}\Rightarrow -ac=n^2-bn</math>

Multiplicando por 4 ambos miembros:

<math>-4ac=4n^2-4bn\Rightarrow -4ac=4n^2-4bn+b^2-b^2</math>

Por la identidad notable <math>4n^2-4bn+b^2=(2n-b)^2</math>tenemos:

<math>-4ac=(2n-b)^2-b^2\Rightarrow b^2-4ac=(2n-b)^2\Rightarrow \pm\sqrt{b^2-4ac}=2n-b\Rightarrow n={b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over 2}</math>

Despejando <math>n</math>en <math>x={-c\over n}</math>:

<math>x=-{c\over {b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over 2}}=-{2c\over {b\pm\sqrt{b^2-4ac}}}</math>

Y multiplicando el signo negativo por el denominador concluimos:

<math>x={2c\over {-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}}</math>