Topología usual
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Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre <math>\mathbb{R}^n</math> son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de Rn inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre <math>\mathbb{R}^n</math> dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.
Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre <math>\mathbb{R}</math> es la topología inducida por la distancia usual de forma que <math>\tau_{d_{usual}} = \tau_{usual}</math>.
Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico <math>(\mathbb{R},\tau_{usual})</math> los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos <math>x,y</math> con <math>x,y\in\mathbb{R} </math>.
Ejemplos
- Como se ha comentado antes en <math>(\mathbb{R},\tau_{usual})</math> los abiertos son los intervalos y sus uniones.
- En <math>\mathbb{R}^n, n\geq2</math> se puede considerar la topología usual como la inducida por <math>d_1,d_2,...</math> y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
- Los abiertos son uniones de bolas abiertas.